Blackjack傻瓜入门（1-10）

这是我两年前在自己blog上瞎写的帖子，偶尔翻出来了，帖到这里吧。

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河马（Oklahoma）并不是一个很有魅力的州。然而在这片印第安人的乐土林立着不计其数的赌场(Casino):比美国两大赌城拉斯维加斯（Las Vages）和大西洋城(Atlantic City)当然要逊一些，但是比起全面禁赌的德州，已经算是赌徒的天堂了。WinStar赌场在河马与德州交界的I-35高速公路河马境内1号出口（顺便说一下，美国I开头的高速公路出口Exit编号都是从每个州的南州界或者西州界开始从1计算，编号大小就是距离该州界的里程数），经我粗略估计停车场内 95%的车牌都是德州的。无数达拉斯休斯顿的赌徒周五下班后不辞劳苦过来把一个星期甚至一个月的薪水输个精光，才不得不悻悻地拖着疲惫的屁股和发红的双眼返回。

这些赌场都提供各种免费冷饮，咖啡，有的还有免费冰淇淋随便吃（Eg: Firelake Casino in Shawnee, OK）。赌的时间够长的话，无论输赢，都可以得到免费的午餐、晚餐。赌场还经常搞一些活动比方说“Guys Night”，给当晚的每个男赌客进门就发10块钱给你打到游戏卡里面，你可以马上去退这10块钱都没问题。

然而正是这些免费的“福利”告诉我们赌场有多末赚钱，多末暴利。人类的心理多脆弱，明知是陷阱，可就是想去试一试，而且一发不可收拾。

赌场里面一般都是分两部分，游戏机（赌博机，老虎机，Slot Machine）一块，桌上游戏一块（Table games）。游戏机大多没什么意思，就是按照人家设计好的程序，以固定的比例输钱。然而游戏机竟然是可以赢钱（Beatable）的游戏，原理也很简单：大部分赌场会设立一个持续增长的累计奖金（Jackpot），当Jackpot高于某个钱数的时候，每玩一次其实从概率上讲收益是正的。

假如不算Jackpot，每玩一次平均损失1块钱，而赢得Jackpot的概率是0.01%，这样当Jackpot的值高于10000块钱的时候，从Jackpot获得的收入数学期望值就会高于损失，此时玩Slot就是在赚钱。

但是这个赚钱只有在非常长期的时间内才能看出效果来：假如一个人24×7的赌，他也只有平均几个月才能中奖一次Jackpot，实在是不划算。

有些游戏是不可能打败(Non-Beatable)的。也就是说，无论你用什么策略，只要不作弊，长期一来你都不能赢钱。大部分游戏都是不能打败的。比如 Three Card Poker，采用最优策略的话，赌场赢面（House Edge）仍然高达3.47%，也就是说，每押100块钱，平均就要损失3.47元，这还是建立在最优策略不犯错误的玩法上。

但是有的游戏是可以打败的。刚才说的slot machine就是一例。只不过这种打败太不现实，实际上没有人可以靠这个有计划的赚钱。比较现实的可打败的游戏是Blackjack，Video Poker，Pie Gow Poker,Sports Betting就是其中几个。而Blackjack是其中玩家能通过技巧获得最大赢面的游戏，这个技巧就是算牌。事实上美国有固定的一帮算牌手（Card Counter）一直默默的耕耘在各个赌场的Blackjack牌桌上，靠它吃饭，其中不乏百万富翁。

发明算牌术的人叫做Edward Thorp，是MIT数学系教授，在1960年代这个人为了研究Blackjack，自学了Fortran语言并利用MIT的资源优势使用一台 IBM704搞出了算牌法。去拉斯维加斯一试身手结果横扫天下，一个周末的时间就把赌本1万变成了2万1千。1960年代的2万还是很大一笔钱的。之后 Thorp一鼓作气，跟同为MIT教授的Claude Shannon（Information Theory之父那个）研究出了可携带的电子算牌器，两人在周末频频光顾拉斯维加斯，每次都满载而归。Claude Shannon更是把他老婆也加入，赚钱三人组一时所向无敌。

说来奇怪，玩家最有可能赢钱的Blackjack，同时也是给赌场带来最大收入的游戏。其实道理也很简单：大家都知道这个游戏能赚钱，都来玩。而真正能掌握算牌术的却少而又少。赌场乐得故意开这个小漏洞以吸引更多的傻瓜们上钩。

Blackjack的规则如下：

游戏使用1-8副牌(decks)，把所有的大小王（joker）去掉。每张牌都有一个的点数，2-9分别价值2-9点，10，J,Q,K价值10点，A既可以算1点，也可以算11点，怎么对这手牌有利就怎么算。

游戏开始的时候每个人先下注。之后发牌员（Dealer）给每人发两张牌，Dealer自己也有两张。玩家的两张都是面向上，而 Dealer的只有一张向上。玩家可以继续要牌（Hit），也可以停牌（Stand），目的是比Dealer点数大，但是又不爆（Bust）。牌点超过 21点，就算爆了。

发完起手的两张牌后，Dealer按顺序问每个玩家，是不是Hit，如果Hit就继续发牌给这个玩家，直到他Stand或者Bust为止，转到下一个玩家。当所有玩家都Stand或者Bust后，Dealer开始把他的面向下的牌张翻过来，开始发自己的牌。他的规矩是小于17点必须要 Hit，大于等于17点必须Stand。

玩家如果Bust，那么他的赌注马上就被充公，甭管以后Dealer自己是不是也Bust。如果玩家和Dealer都没有Bust，他们就比较点数，点大的赢点小的。玩家押多少就赢多少。如果玩家前两张牌就凑够了21点，也就是说A +（10/J/Q/K），叫做Blackjack，也叫Natural。Natural的赔率是3：2，如果押100，则赢150块钱。有些赌场里面 Natural只付6：5，遇到这样的的赔率要躲的远远的，因为House Edge在6：5的情况下高到离谱，几乎不可能打败，即使是对玩家最有利的单副牌（single deck）Blackjack。

玩家的选择除了Hit和Stand之外，还有加倍（Double Down），分半（Split）和缴枪（Surrender）

加倍：玩家把赌注加倍，再要一张牌，然后停牌。有些点数是非常适合加倍的，比如前两张牌是6+5，11点，此时玩家应该加倍。有大概4/13的机会凑够21点，而且肯定不会Bust。

分半：玩家前两张牌如果是一对，可以选择把这一对分成两手牌来玩，要放上等量的钱作为新开的一手的赌注。一般来说8和A对是要Split的。

缴枪：玩家如果觉得前两张牌非常不利，也可以选择Surrender，缴枪投降，输掉原始赌注的一半。

如果庄家和玩家点数一样，大家打平（push），不赢不输。

如果庄家面向上的一张牌是Ace，玩家也可以买保险（Insurance）。搞法是玩家再投入原始赌注的一半到赌桌上的保险区，上面写着 “Insurance Pays 2:1”，赌庄家有Natural。如果玩家买了保险，庄家检查他面向下的牌（Hole Card），如果确实是10/J/Q/K，玩家就赢了保险，因为保险金是赌注的一半，然后赔2：1，所以玩家从保险中赢等量赌注。但是玩家的牌不是 natural，而庄家是，所以玩家还要输掉原始赌注。算下来就是不输不赢。所以保险的意义就是赌庄家是natural，如果是就不输钱，如果不是，就输掉保险金。

如果玩家也是natural，此时庄家face card是A，玩家买保险，分情况讨论：1.如果买中了也就是庄家的确是natural，玩家退还2倍保险金也就是原始赌注，而玩家自己的natural 跟庄家的natural打平。2.如果没有买中也就是庄家没有natural，玩家输掉赌注一半的保险金，但是natural赢1.5倍的钱，算下来还是赢一倍。所以，玩家有natural的时候保险的意义就是玩家放弃1倍半的收成而只要1倍。这时庄家通常不问有natural的玩家 “insurance?"，而是问“even money?”


简单计算可以看出买保险是非常傻逼的。庄家只有4/13的情况有natural。保险的House Edge超过7%! 但是，如果算牌的话，在Hi/Low算牌法点数高于2.4的时候买保险就是一个正确的选择。如果不算牌，最佳策略就是：永远不要买保险。

如果庄家的face card是10/J/Q/K，他一样要先检查是不是natural，但是这时玩家就没有机会买保险了 - 当然，这时庄家是natural的概率只有1/13，不可能有人去买保险的。

大部分赌场使用一个偷窥装置检测natural，庄家把两张牌并好，把一个角塞入那个装置，如果是natural，这个东东就会亮红灯，否则就是绿灯。检查的时候没买保险的玩家一阵“Green”“Green”的乱叫，令人仿佛置身格林童话的deja vu中。

想要在Blackjack上赚钱之前，必须要了解“基本策略”（Basic Strategy）。Basic Strategy就是玩任何一手牌的最优策略。最优的意思就是说，这个策略从概率上讲最大程度的减少庄家赢面。在不算牌的情况下，Basic Stragety是一个玩家必备且必须坚持的法则。

很多玩家对Basic Stragety有疑问。最常见的疑问就是这样的：“Basic Stragety说16点对庄家7点要Hit，可是我连续7次Hit16点都爆了，这次我还要Hit吗？”答案是“Hit，坚决要Hit”哪怕你连续爆了 1000次，下次还是要Hit。Dealer可能会对你叹息，其他玩家可能会窃笑你的傻逼，但你要知道，你是玩一个长期的游戏，你是冲着钱去的。这个游戏里面没有“运气”“直觉”“猜测”和“点背点正”，只有概率，计算，信心和坚持。

Basic Srategy取决与赌场规则，不同规则下的Basic Strategy大致相同但是有细微区别。下面的Basic Strategy表是在最常见的规则下的最有策略：
6 Decks(使用6副牌), S17（庄家在软17点时Stand）, DA2(Double Any 2 first cards), DAS,（Double After Split Allowed） No surrender(不允许缴枪投降), Resplit up to 4 times, Only one card after resplit Ace.

你的牌         Dealer的Face-up Card                        
　　　　　2         3         4         5         6         7         8         9         10         A                        
        Hard Total(硬点数)                        
17-20         S         S         S         S         S         S         S         S         S         S                        
16         S         S         S         S         S         H         H         H         H         H                        
15         S         S         S         S         S         H         H         H         H         H                        
14         S         S         S         S         S         H         H         H         H         H                        
13         S         S         S         S         S         H         H         H         H         H                        
12         H         H         S         S         S         H         H         H         H         H                        
11         D         D         D         D         D         D         D         D         D         H                        
10         D         D         D         D         D         D         D         D         H         H                 H         Hit
9         H         D         D         D         D         H         H         H         H         H                 S         Stand
<8         H         H         H         H         H         H         H         H         H         H                 D         Double Down



第一个表是说的硬点数的情况。所谓硬点数Hard Total，是指你手中没有A，或者虽然有A，但是A只能当1点用，否则就要爆掉。这个表很好理解，只要找到你自己的点数和Dealer的点数，就能确定你的唯一策略。

第二个表是软点数的情况。所谓软点数Soft Total，是指手里有A，而且这个A当11点也不会Bust的情况。软点数时应该这样：

你的牌         Dealer的Face-up Card                        
2         3         4         5         6         7         8         9         10         A                        
        Soft Total(软点数)                        
A,9         S         S         S         S         S         S         S         S         S         S                        
A,8         S         S         S         S         S         S         S         S         S         S                        
A,7         S         Ds         Ds         Ds         Ds         S         S         H         H         H                        
A,6         H         D         D         D         D         H         H         H         H         H                        
A,5         H         H         D         D         D         H         H         H         H         H                        
A,4         H         H         D         D         D         H         H         H         H         H                        
A,3         H         H         H         D         D         H         H         H         H         H                 D         Double Down(Hit if not allowed)
A,2         H         H         H         D         D         H         H         H         H         H                 Ds         Double Down(Stand if not allowed)

这个表也很好理解。唯一可能有麻烦的是Ds。Ds的意思就是说如果允许Double Down，就Double Down, 不允许就Stand。什么时候会不允许double down呢？1是有的赌场有非常操蛋的规矩叫做D9-11，也就是说只有前两张牌是9,10或11的时候才允许double down，不允许double down软点数。2是如果已经Hit过牌，比如手中是A+2+5，这时也不能double down了，就要stand。

首先强烈抗议live space竟然不允许我一篇文章中贴三个表（contains too much text）。难道他们没有学习三个代表带三块表吗？

第三个表是手中是一对的时候的分对策略。

你的牌         Dealer的Face-up Card                        
2         3         4         5         6         7         8         9         10         A                        
        Hard Total(硬点数)                        
A,A         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP                        
10,10         S         S         S         S         S         S         S         S         S         S                        
9,9         SP         SP         SP         SP         SP         S         SP         SP         S         S                        
8,8         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP         SP                        
7,7         SP         SP         SP         SP         SP         SP         H         H         H         H                        
6,6         SP         SP         SP         SP         SP         H         H         H         H         H                        
5,5         D         D         D         D         D         D         D         D         H         H                        
4,4         H         H         H         SP         SP         H         H         H         H         H                        
3,3         SP         SP         SP         SP         SP         SP         H         H         H         H                        
2,2         SP         SP         SP         SP         SP         SP         H         H         H         H                 SP         Split

这三个表，就叫做基本策略表。是Blackjack玩家居家旅行，杀人越货的必备武器。如果一个玩家不能把这三个表记得比自己的名字还熟悉，最好还是待在家里看电视吧。好在它们并不难记比如第三个表，我总结出一些助记规则：

1.  A,A;  8,8始终Split，10,10始终Stand
2.  5,5不要Split跟10一样
3.  99split到9，对7例外要stand
4.  77split到7，66split到6，22与33和77一样split到7
5。44只split 56

一个中等记忆力的人大概只要几个小时就能吧这几个表熟记。

熟记这几个表能赢钱吗？非也！按照本文开头的规则（6 decks, S17, DA2, DAS, No surrender），基本策略表能把House Edge降低到0.35%。也就是说，平均每押100块钱，你只输3毛5. 虽然还是输，但是对与其他赌场游戏2-20%的House Edge，已经是好得不能再好了。

那要怎么才能赢钱呢？下次有时间再写Card Counting。今天美国国庆节要看焰火了

看过“雨人”的同志们一定记得汤帅哥带着他的白痴天才的弟弟在拉斯维加斯一夜之间狂赚8万多美元的刺激之夜。达斯汀.霍夫曼演的雷蒙简直是精彩之极。这个片子有很多镜头是在河马州拍的，我的space前面有片场小镇Guthrie的照片，此外在片中他们还在另外一个小镇Cogar住过汽车旅馆。

他们算牌赚钱的故事却严重误导。在Blackjack桌上要靠算牌挣钱，首先你不必拥有想必也没有雨人那样来自火星的记忆力，其次你根本没有必要跟踪每一张牌，再次你对算牌收入的期望值也不可能象片中两位那样丰硕，最后，象汤帅哥那样缺钱的时候靠自己压箱底的最后积蓄去赌博，从概率上讲几乎必输无疑。以后再细数资金流和 risk of ruin(RoR)的计算。

算牌法的关键“原理”在于牌堆中如果高面值的牌（High Card）的密度越大，对玩家越有利。假设剩下的牌堆中全是10点的牌（10JQK）和Ace，玩家和Dealer以一比一的概率轮流得到 Natural，玩家就赢定了。因为玩家的一个Natural赢一倍半，而庄家的Natural玩家只输掉一倍的赌注，这样每两把玩家就能获得平均赌注的一半的收益。更何况玩家可以通过买保险不输钱。当然剩下的牌堆中不可能全是10和A，还会有其他的牌。这时因为剩下的10较多，庄家就容易爆掉，而玩家可以自由选择停牌，也占优势。High Card多还有一些其他好处，但是玩家的优势主要就是靠这两点：Natural机会大，庄家容易爆。


怎样才能知道剩余牌堆中High Card的密度呢？我们可以一直数牌，看到底出了多少low card，多少high card，如果已经出现的lowcard多于highcard，那么下一手牌的Highcard概率就略高那么一点点。我们把2-6的牌叫做 lowcard，把7-9这些对我们不好不坏的牌叫做midium card，把10JQKA叫做Highcard。每张牌给一个点数，lowcard是1，midium card是0，highcard是-1。然后每次出一张牌就算一下点数，累计到总点数中。这就是传说中相对简单，最为普及，精确度也较高的Hi-lo算牌法。这个累计点数，就叫做Running count(不知道中文叫什么，就翻译成总点吧)

总点越高，一般来讲剩余的牌中Highcard密度越大，对玩家越有利。反之总点越低，剩余的牌中lowcard密度越大，对玩家越不利。

有了总点，还是不知道剩余牌中的精确密度。总点6点剩余5副牌，其实比总点3点剩余1副牌时highcard密度还小。所以必须要使用True count（TC，真点。帝国时代中表示Town Center, 交通调查中表示Traffic Count，公交公司里表示Transit Center）。真点就是用总点除以剩余牌副数。6点剩4副牌，真点就是1.5.

真点精确的表达了你有多大概率得到一张High Card。你算出真点是3，就代表平均52张牌中Highcard比lowcard多三张。

真点的作用有两个，一是押注，二是玩法变化。

先看押注Betting。真点降低，对我们不利，就少押或者不押。真点升高，对我们有利，就多押或者猛押。但是注意！不要狂押！！压过自己的后备资金（Bankroll）承受能力时，一个standard deviation就会轻易使你破产，卖掉裤子走出赌场。（去赌场一定要穿内裤！！）软件模拟表明，真点每升高1点，玩家优势就约增加0.5%。在真点为 0的时候，也就是刚刚开始发牌的时候，一般的Blackjack游戏玩家优势大概是-0.5%. 也就是说，当真点大于1的时候，优势就站到了玩家这一边。6副牌的游戏，发牌深度（penetration指发牌到总牌数的百分比）为75%，大概有 25%的时间真点大于1.

再看玩法变化Playing。Basic Strategy显示，玩家16点对庄家face card A要Hit。但是如果真点高于3的话，剩余牌中Highcard密度太大，就要Stand了。这个3，就是这手牌16对10的Index（玩法指数）。基本策略表中很多情况都是根据玩法指数有变化的，这时就有一个Index表。这个表相当难记，一个记忆力严重高于常人的人i.e.我老人家，借助自己编写的中文助记法（山巅一寺一壶酒。。。），都要两个星期才能记的比自己的名字更熟悉。（幸好我是单字名，那些双字名的同志们据说花要4个星期）

在一个平常赌徒看来，每玩一次Blackjack，只有两种结局，运气好就赢跟赌注等量的钱；运气不好，就输掉全部赌注。赌博全靠运气。

在一个洞悉Blackjack（以及所有赌博游戏）原理的算牌手面前，每一手不算牌的Blackjack是数学期望值（Expected Value, or EV）-0.5%，标准偏差（Standard Deviation, or SD）为赌注1.2倍的一次游戏；每一手算牌的Blackjack是EV大概1%，SD为1.25的另外一个游戏。这个游戏，是对技巧，心理，表演才能，记忆力，计算能力，体力的考验。唯独毫不相关的，是运气。算牌手认为，运气是最不重要的因素。概率论告诉他们，长期以来，你的收入（或者损失）必然无限趋近你的计算结果，毫无例外，除非你算错了。

只会算牌，不会风险控制的赌徒，只有一个下场：血本无归。要想做到最大限度提高长线收益，减少潜在风险，必须运用Blackjack的九阴真经：凯利法则（Kelly criterion）。

凯利法则的目标：在重复性正收益的概率赌博游戏中，最大化长期收入，减少风险。
凯利法则的原理：按照这个公式，即可得出每次应该押的赌注占所有可赌资金（Bankroll）的百分比
f^{*} = \frac{bp - q}{b} , \!  
# f* 本次赌注占Bankroll的百分比;
# b 如果赢得话，赢钱与赌注的比率; 在Blackjack中总是比1稍微大一点（Natural赢1.5倍，Double Down， Split等赢亦超过1倍）
# p 玩家赢面;
# q is the probability of losing, which is 1 − p.

在Blackjack中b比1大一点，为简化计算（此简化造成的误差非常小）以1取代，又因为q=1-p，所以

f^{*} = 2p - 1 . \!

这也就是凯利法则所判定的最优赌注。举例说明：
假设老宋带了3000块钱去赌场，Bankroll=3000. 经过算牌，现在True Count大约4点，优势为1.5%，也就是p=（100%+1.5%）/2=50.75%，代入公式得到f*=1.5%， 1.5%×3000=45，所以这一把应该押45块钱。压的超过45块钱，老宋变老送；少于45块钱，老宋变老面。

如果True Count是负值，也就是说玩家没有赢面，f*也是负的，从数学角度讲应该押一个负值，但是赌场不会借钱给你，这是应该押0，或者最低值。

理论上讲运用凯利法则是不会输光的，因为你每次都是押Bankroll的很小一部分。但是实际上还是具有很大风险。首先赌桌都是有下限的，比如最低5块钱，这时你计算结果如果要你押2块钱的话就没辙了；其次，凯利法则的风险对于赌徒来讲还是相当大的，下面是另外一个评价标准。

我想让我的Bankroll翻倍，有多大的可能再它翻倍之前就已经减半了？按照1%的赢面，全凯利法则，结果是大约33.3% 。这个结果已经非常大了，大到任何以赌博为生的赌客绝对不能接受的。如果按照80%凯利法则，每次押凯利法则建议的赌注的80%，这个结果降到 26.12%，以下是不同比率凯利法则的失败率（总赌注翻倍之前先减半）

Fraction of Kelly         Failure
100%         33.33%
80%         26.12%
60%         16.56%
50%         11.11%
40%         5.88%
30%         1.93%
20%         0.19%
10%         0.00%

当然，赌的越小，实现总赌注翻倍的时间也就越长。抵抗风险能力强的赌注，一般可采用50%-80%左右的凯利，差一点的可以采用30%-50%。 采用全凯利的，不是凯利，是凯子。

在周星星电影《功夫》中有一个街头骗子，他拿出几本皱皱巴巴的薄薄的手抄本，大概叫做《菊花宝典》《如走神掌》《降龙十九掌》之类的，以10块钱一本的天价卖给急于成为江湖大侠的小星爷。年幼无知的小星爷竟然打破存钱罐，取出本来可能是准备第一次跟女朋友开房间的钱买下了这些一文不值且误导无穷的垃圾。

在赌博中，无数前辈先烈和当代才俊一代又一代得重复发明或者学习着类似的一些“赌博秘籍”。最著名的就要数“赌注系统”(betting system)，在赌注系统里面，最出名的，祖师爷级别的，非吗丁格尔(Martingale Betting System)莫属。跟《功夫》的区别是，街头骗子拿江湖秘籍骗别人并挣钱，吗丁格尔中毒者拿来骗自己并倾家荡产。

吗丁格尔的做法非常简单。从一个很小的赌注开始，如果赢了就下同样的赌注，如果输了就加倍。一直输就一直加倍，知道赢一把为止，又回到原始的小赌注。这样，每一次赢，都把以前所有输的钱全都赚回来，并且还赢一个单位的赌注。

举例：第一把，押5块，输了；
第二把，押10块，又输了；
第三把，押20块，又输了；
第四把，押40块，又输了；
第五把，押80块，又输了；
第六把，押160块，赢了；

此时第六把的收益不但把前面输得都赢回来，还净收入5块。第七把，又从5块开始赌。

吗丁格尔中毒者开始想，无论我运气怎么背，只要每赢一把，我这5块钱是赚定的！5块虽然少，但是我一个小时怎么也能赢二三十把吧！这样算下来收入也不少了！

吗丁格尔最“骗人”的一点就是，它是真的！它的理论一点错误也没有，非常简单的数学道理，小学二年级的数学知识即可理解。但是，理论上是真的，不代表事实上是可行的。吗丁格尔的实现至少有两个前提，我们根本不具备，这两个前提是：

1. 我们手头的资源是无限的。事实是，即使比尔盖茨（或者刚刚取代他地位的墨西哥大叔）以5块钱开始玩吗丁格尔，如果每天玩3000手牌的话，在一个月内破产的可能性超过70%。

2. 赌桌必须没有上限。然而，任何一个赌桌都有上下限，如5-500，10-1000，25-2000等等。

任何关于数字的游戏中，有一点是必须牢记的，那就是：永远不要低估指数的威力。吗丁格尔，用指数级别的输钱，换取线性的赢钱。连续输9把以后，你的赌注已经变成1024个单位，这即使没有超出你的承受范围，也要超出Table Max。而任何在Blackjack桌上玩过几次的人都知道，连续输9把绝对不是什么难得一见的事情。至少我可以告诉你，它比我的女朋友突然没有原因地给我做了一桌丰盛晚宴而她又没有出轨的可能性要大得多。

设计一个简单实验来模拟一下。假设A和B玩一个Blackjack游戏。他们各有 49.29%的机会赢，有50.71%的机会输。他们开始都有255块钱，各玩100把。A用等押（Flat betting），每次只押1块。B用Martingale，输钱翻倍。255块钱能够让B坚持连续的8次输钱。如果B剩下的钱不足以押一次，则B带着余款结束游戏。A是不可能输光的，所以他每次都玩完100把。这个游戏运行1百万次，平均结果如下：



上图可以看出，A的收益完全是正态分布，平均收益为-1块，运气非常不济的时候能输30多，运气非常好的时候能赢30多。无论输赢，离平均收益不会太远。而 B这个吗丁格尔玩家在多数情况下都是以赢钱结束的，也就是红色曲线在0右侧的部分。这部分的峰值收益是51块。但是，有19.65%的情况，B是以输光光，或者仅留下33块不够明天买菜钱不够搭车回来的悲惨结局走出赌场的。吗丁格尔信仰者认为，红色曲线的收益部分足够弥补损失的部分，所以还是能够赢钱的。然而，如果计算A和B的平均收益的话，B输得比A还多。A平均输1.12块，B平均输4.20块。

当然B输得多是因为B押的钱比A多。从总收益/总投资这个比例来看，他们的结果是完全一样的，那就是House Edge。

任何的赌注系统，如果游戏本身没有变化，长期来讲收益一定无限趋近总投资×HouseEdge。这就跟前面我的一片（烂）博文中生孩子一样，只要你不只人工流产女孩，那么无论你升到男孩就停止，还是生到10个娃才停，或者是一直不停的生，从全国来讲新生儿性别比例都是1：1（或者更精确的107：100）

吗丁格尔，只不过吧总收益构造了一个发散数列而已。多数情况下小赢，少数情况下大输。就像开一辆该换轮胎的破车，多数情况下你开一趟并不会真的就爆胎，可算侥幸到达目的地，小赢；但是少数情况下真的爆胎，车毁人亡，大输。

有些人用反吗丁格尔，也就是赢钱加倍，输钱则平押，造成另外一个结果：少数情况大赢，多数情况下小输。这就像买彩票，多数情况下并不会中，只是白白贡献2块钱，小输；少数情况下踩中狗屎挣它个几千万上亿，彻底改变人生轨迹。


经常拖着不换轮胎的同志们，你们就是吗丁格尔心理，即使你们深刻理解一切原理，但是到了赌场还是想靠此翻本。经常买彩票的同志们，你们就是反吗丁格尔心理，常常希望走出赌场的你已经需要雇保镖马上辞职周游欧洲加勒比其力马扎罗。其实下场都是一样的，那就是：很惨！

本节结论：定时换轮胎并拒绝购买彩票，就可以过上幸福生活。

这一节讲团队作战。有空再写。

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话说1979年1月份，MIT开设了一门既有趣又影响深远的课程，叫做How to Gamble if You Must。上这门课的几个MIT学生同时也是经常玩Blackjack的算牌手。这门课上他们尽情讨论了算牌术和团队作战Blackjack的可行性。课后，他们马上进入实习，飞往同在东岸的Atlantic City的各大赌场一展身手。可惜当时他们的计划并不周密，而且时间也很短，长期效益没能战胜短期波动，总之，1979年春天，这几个学生并没有赢到钱。之后大多数都转为单兵作战，只有两个学生坚持组队，他们在MIT招募最聪明且心理素质最好的学生，对他们进行严格的card counting培训，并在1980年投入5000美元开始重新杀回Atlantic ity实战。这就是"MIT Blackjack Team"的起源。

这次他们成功了。第一个月，5000变成了1万。第二个月，1万变成了2万。之后他们有争吵，有人离队，有被赌场禁止进入，但总的说来是很成功的。到90年代初大部分原始成员退役的时候，少的赚了1百万，多的赚了上千万。

不得不佩服MIT这种名校的开阔眼光和不拘一格的教学。大学学什么？我认为就是要学两种东西：1. 有用的东西 2. 有趣的东西。象会计，工程之类的，我觉得很没趣味，但是对人类社会的发展很有用。而纯数学，理论物理，哲学等等，说不清楚到底有什么用，但是真正钻研进去的学生从中的到的美感和满足感足以支撑他们整个人生，也就是说，这些涉及“终极目的”的课目很有趣。研究赌博，并从中获利，是既有趣，又有用的好东东，真是奇怪为何在我国并未有过这样的课程。现任MIT Blackjack Team的灵魂人物Johnny Chang，当年的硕士论文题目就是Win/Loss Distributions in Blackjack，并从那时起开始研究Blackjack。

叽叽歪歪这么半天，为什么要组队玩Blackjack呢？前面不是说一个人只凭算牌法和Money Management就可以稳定的赚钱并避免破产的风险吗？没错，单兵作战的确可以盈利，但是，组队会让这种利益得到最大化，而且并不加大风险。组队作战的基本方法就是：队伍里面所有的玩家都把钱集中到一个玩家金库，所有的人玩的都是这个金库的钱，他们共同分享胜利，承担失败。这样，在风险指数不变的情况下，每个玩家能增加他押的钱数，就像整个金库都是他的钱一样。

但是，组队作战最重要的一点，就是队伍成员之间建立起绝对信任。因为你玩的时候，别人是看不见的，同样你也看不见别人玩。如果你赢了，就把钱偷偷踹进腰包，不会有人发觉。所以必须用一个严格的制度严惩作弊者，否则队伍根本无法继续。

现在美国流行的Blackjack Team组成通常是一个有钱人做投资者，自己并不亲自上场玩，而是雇几个聪明但没钱的算牌手替他玩。这样的Investor-Player结构的Team 占大多数。Investor-Player Team通常是按照50-50分成：投资者和玩家各拿一半的获利（或者承担一半损失）。他们通常设立一个获利目标和一个亏损比例，当获利达到目的时，所有成员就地分赃；亏损超限，或者投资者再次投钱，或者队伍解散。一般的投资者的年获利比例大约为250%：比巴菲特的股票获利高，比最牛散户刘芳和带头大哥低。

Blackjack Team除了怕不守规矩的内鬼之外，最怕的就是Griffin Book。Griffin Book其实就是算牌手名单，所有被赌场辨认出的大算牌手都在这个名单上，美国所有赌场都有一份。Griffin Book可谓是算牌手的噩梦，上了这个书，基本上就别想在美国的赌场靠blackjack赢钱了。对于Blackjack Team，这可以算是超大威胁。但是河马的算牌手不用太担心，如果你一晚上输赢不过几千块钱，大可不必担心，Griffin book没有你想象的那么厚。

为了避免上Griffin Book，算牌手在玩的时候，必须要采用一定的伪装术。下节再写：Camouflage

感觉这节写的不好，没有把团队作战的精髓写出来，算了太晚了，睡先。

这一节说说“装傻”（camouflage）

假设你是一个技巧娴熟又非常自负的算牌手。你在拉斯维加斯某赌场准备大开杀戒。你精确的使用 Hi-Low算牌，当点数高于1的时候，你开始增加赌注，点数为2，赌注加倍，点数为3，赌注3倍，点数为4或者高于4，赌注6倍。一切进行的非常完美 -----除了运气不太好之外。你赌了一天，反而输了一点钱。不过，作为一个心理素质过硬的算牌手，你对自己说，这没什么，我玩的是长期的游戏，现在的输钱只不过是短期正常波动而已，明天我再来这里赚回来。

第二天，你重新杀回同一个赌场，聚精会神的重新开始。正当你赌了半个小时左右的时候，两个穿黑西装，身高1米95，秃头的黑人大汉已经站在了你的身后，捅捅你的后背，和蔼的对你说，“对不起先生，请跟我来一下。”。

你当然知道下场是什么：你被叫到经理室，一个带着金丝眼镜瘦弱但精明的白人小伙子坐在皮椅上告诉你，你可以继续在这个赌场玩，但是仅限Blackjack以外的游戏。

你觉的不公平，说：我可还赔着钱呢！为什么不让我玩？仅仅因为我算牌？经理说，“对。虽然你现在还赔着钱，但是长期玩下去你一定会让我们赌场赔钱。这点我相信您比我更清楚”

你会算牌，赌场当然也雇了解算牌的人监视你。拉斯维加斯的赌场老板们身价上百亿，当然不是傻瓜。河马则是另外一个故事，这里的赌场都是印第安人开的。为了避免种族歧视倾向，我不会评论他们的聪明程度。但是，如果把人的财富除以智商作为一个指数，河马的印第安赌场老板和印第安赌场经理绝对在这个指数排名表上居于全河马最前列。至于是不是全美最前列我不确定，因为帕丽斯.希尔顿将是他们强大的竞争对手。

扯远了。河马只是特例。在维加斯和大西洋城，你必须要用装傻术来唬过那些赌桌经理（pit boss）和天花板上的摄像头。任何一个靠玩blackjack为生的人，都会同意camouflage是跟算牌本身同样重要的技巧。任何一个算牌手同时也必须是一个表演大师（con artist）

比较简单的camouflage，是idiot camouflage。当你用明显傻子的方式玩一手牌的时候，赌场老板会对你友善的笑笑，马上走开。比如你的两个6，对庄家一张A，你选择split（应该hit）。这时不光赌场老板，连你赌桌上的其他赌客都会告诉你：you should hit！hit！你当然会说：i feel it！然后你来一张5，你double，来一张10！你说，怎么样，我就说我运气好吧！当然更多的时候你split后两手牌都爆掉。这是你要做捶胸顿足状。

高级一点的camouflage，是选择那些玩法的EV(Expected Value)差异不大的牌，做一些调整。比如16点对庄家10点，理论上讲应该hit，但是如果stand也只有0.4%的差异。又比如A+6对庄家2 点，理论上应该double，但是如果hit也只减少0.5%左右的回报。这时你先说一句，上次我hit来着，爆了，这次我stand吧！总之，把自己搞得越傻越好。

装傻要注意两点。1.只在自己赌注比较小的时候装傻。本来算牌手的优势就很小，不要因为装傻而把优势变成劣势，那就真傻了。 2.只有在确信stupid play有效的时候才用一下。当你觉得pit boss已经注意你一段时间的时候，你就有必要搞一下了。when you feel the heat, use camouflage to cool it down!!!


前面说过，买保险（insurance）是非常糟糕的一个玩法，损失高达7%。然而，一般赌客多数会给自己的natural买保险，也就是“take even money”。赌场老板对于那些不even money的赌客则比较怀疑，因为连他们自己都相信：even money is the only hand that you can't lose!! 但是你只有5%的情况下才会有1个natural，而你有natural的时候你又只有1/13的情况下有机会选择买保险（庄家是一张A），所以这手牌你其实只有在很少的情况下才会用的到。如果你平均每把押100块钱，每过100把你才会因为even money损失1.35元，也就是0.0135%。这已经是相当便宜的代价了。事实上你真正损失的钱连0.01%也到不了：因为每次点数比较高的时候你才会有较大机会得到natural，而点数高的时候正好是你押的多的时候，这时候高点数可能本身就意味着你应该买保险了！！（TC>2.5需要买保险）

你可以骄傲的对pit boss讲：我每一个natural我都even money！而且你确实也这么做，损失0.01%的钱，换取他的信任！！

上述都是有代价的装傻，还有的装傻是不必损失我们那一点可怜的edge的。在北京的大街上，你一眼就能看出谁是白领，谁是烤红薯的。他们穿着打扮气质谈吐都有很大区别。同样在一个赌场，一个典型算牌手的形象是：

年轻的美国白人，较瘦或很瘦，穿着很休闲，不抽烟不喝酒，一个人安安静静的玩牌，眼睛很灵活。

如果你是一个较丰满的外国非白人妇女，大约50岁，一口流利的尼日利亚结巴，（动听程度仅次于我这中国结巴），在赌桌上1小时叫了5次cocktail，高盛谈吐，指点评论别人玩得好坏，穿着奇装异服，那恭喜你，你可以省掉装傻的步骤了。任何一个不傻的pit boss都不会对你太过留意。

远离典型算牌手形象，是非常好的装傻，免费的。

Blackjack比赛(Tournament)，跟Blackjack现金游戏完全不同。现金游戏是根庄家赌场玩，要打败的是赌场；而比赛是跟同桌上的其他玩家玩，只要在规定会合后你筹码数比别人都多，你就赢了！

最常见的比赛组织形式如下：若干人分若干桌报名参赛，每人用相同数量的筹码开始玩Blackjack，玩规定手牌数（一般为21手），结束时每桌剩余筹码数最多的1-3人进入第二轮。第二轮选手重新分桌比赛直到决出第三轮优胜者。大比赛一般3-4轮，小比赛2轮就搞定了。

Blackjack现金局是赌场有微弱优势的游戏，如果你算牌则你会有微弱优势，这里优势劣势也就1%左右。而一个精通比赛技巧的人可以在Blackjack比赛中有10%以上的巨大优势。

比如，最后一手牌时，你有400筹码，你对手有500筹码，他先押注。这时候你就采取跟他相反的押注方法。他押高，你压低，赌他输；他押低你则押大注赌你赢。一手普通的blackjack牌玩家有43%赢，8%打平，49%输。这样的话无论如何你的赢面都会大于40%。他比你多的100筹码完全不起作用。

假如你有500他有400，还是他先押，你的赢面可以高达83%。只要跟他的下注大概匹配就可以。这样的话无论你们都赢，还是都输，你都赢定了。只有当他赢你输，并且他下注足够大的时候他才有一点可能胜过你。如果他先下注小于30，你下注10-20，赢面100%。如果他下注31-100，你就不能押太小，因为他可能得到一个natural或者double down来超过你，你要跟他匹配。如果他全进你就押400-495，剩下5，他就只好他赢你输的时候才能获胜。

翻过来如果你先下注，你就有巨大的劣势。假如你500先下注，他400后下，他就可以用上面的方法对付你。但是不要忘了，作为一个专家，你会设置陷阱。比方说你押120剩余380，他一看乐坏了，押了5块最低限剩余395，认为只要你输，他无论输赢都会战胜你。这是你来两张牌是 20，Dealer只有6点，但是你毫不犹豫的投降（surrender）你的20点，这样你输你的赌注的一半也就是60块，剩余440块，锁定胜局。

如果你是400还先下注，他是500后下注，也不要紧，你可以用doubledown任何牌的策略最大提升你的赢面。比方说你押200，如果他是高手的话他一定押105-295之间，这时你17点，他19点，dealer6点。本来出现这个局面他绝对有利，因为他剩余筹码比你多，他牌点还比你大，你只有继续要牌到20点然后盼望dealer恰好是20点，或者要到21点，然后盼望dealer是20或者21点，才有一线生机，你的赢面不大于 5%。但是你此时如果把剩余的200筹码doubledown，只要你这一把赢了dealer你就胜出，除非他也doubledown赢。你先反应，如果你输了他就赢定了，如果你赢了他必须要doubledown，而他19点再doubledown赢面也很小，除了A和2能帮助他，其他的牌他都会爆。你爆了，他赢面100%，你没爆，他赢面只有2/13=15%。而你那一手牌爆的概率是8/13=62%，不爆概率是5/13=38%，所以你的总赢面是 38% * (1-15%)= 32%。虽然还是不高，但是比起不到5%来已经是巨大的进步了。

同样条件：你是400先下注，他是500后下注，你和他都压200，假如你19点，他17点，dealer8点。你先反映，最佳策略是什么？我还没来得及算呢。。。此时你爆掉的可能增加到11/13=85，而dealer有很大可能是对你最有利的17-19点。仔细算出此时的最佳策略可能需要几分钟的时间。

实战中通常是最后一轮有3名以上的对手。这时的策略就变得极其复杂，尤其是你先反应的时候。你不能假定所有对手都是最聪明的，也就是说，他们未必能做出对他们最有利的选择，你要估计一下他们押注的习惯和最可能的押注范围，再根据其他信息做出自己的选择。有时对手的选择是对他和你都有利的。看似矛盾，举例来说：假如你和对手A、B各有500筹码，你押20，对手A押40，此时对手B对他自己最好的策略就是多押，超过60，这样只要他赢这一把他就胜出了，你和A怎么都没戏。但是他多押的的策略对你也是有利的，因为只要dealer赢下这一把（3人全输）你就胜出了。对手B赌高，你赌低，各占一头。A 最倒霉夹在中间，无论三人同时赢还是同时输他都没戏，他只好赌秋千（swing），也就是说你和B输而他赢。如果B当时押10赌低，把你夹在中间，你就惨了，但是B也不划算，因为3人以上的桌，赌低不如赌高。3人甚至更多人对局太复杂，恐怕要著书分析。